UP Board Class 12 गणित Important Questions 2027 - Chapter Wise Hindi

संक्षेप में: UP Board Class 12 गणित 2027 का paper 100 marks (पूर्ण theory, कोई practical नहीं) का होता है। कलन (Calculus) ~35 marks, बीजगणित ~13 marks, सदिश और त्रिविमीय ज्यामिति ~17 marks, रैखिक प्रोग्रामन ~5 marks, प्रायिकता ~10 marks। समाकलन (Integration) और अवकलन (Differentiation) से सबसे ज्यादा questions आते हैं। इस guide में हर unit के most important questions Hindi में हैं।

Paper Pattern 2027

Important: Class 12 Maths एकमात्र subject है जिसमें पूरे 100 marks theory exam से आते हैं — कोई practical या internal assessment नहीं। इसलिए theory preparation ही सब कुछ है।

Unit-Wise Marks Distribution

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Unit I: संबंध और फलन — ~10 Marks

वस्तुनिष्ठ

• तुल्यता संबंध (equivalence relation) की तीन शर्तें क्या हैं?
• एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) फलन किसे कहते हैं?
• sin⁻¹(sin π/3) = ?
• tan⁻¹1 + tan⁻¹2 + tan⁻¹3 = ?

वर्णनात्मक

• सिद्ध कीजिए कि R = {(a, b) : a - b, 3 से विभाज्य है} समुच्चय Z पर एक तुल्यता संबंध है। (5 marks — classic question)
• सिद्ध कीजिए: 2tan⁻¹(1/2) = tan⁻¹(4/3) (3 marks)
• सिद्ध कीजिए: tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x+y)/(1-xy)], जहाँ xy < 1 (3 marks)
• sin⁻¹(3/5) + cos⁻¹(12/13) का मान ज्ञात कीजिए। (3 marks)
• f: R → R, f(x) = 3x + 4 — सिद्ध कीजिए कि f एकैकी और आच्छादक है। f⁻¹ ज्ञात कीजिए। (5 marks)

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Unit II: बीजगणित (Matrices & Determinants) — ~13 Marks

वस्तुनिष्ठ

• 3×3 आव्यूह (matrix) के सारणिक (determinant) का विस्तार कैसे करते हैं?
• A(adj A) = |A|·I — सही या गलत?
• Cramer's Rule में x = Dₓ/D — D क्या है?
• यदि |A| = 0 हो तो A को क्या कहते हैं?

वर्णनात्मक

• आव्यूह विधि (matrix method) से हल कीजिए:

  • 2x + 3y + z = 9
  • x + 2y + 3z = 6
  • 3x + y + 2z = 8 (5 marks — guaranteed question type)

• सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए:

  | a a² bc | | b b² ca | = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) | c c² ab |

  (5 marks — frequently asked)

• A = [[2, 3], [1, 2]] का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कीजिए। A⁻¹ का उपयोग करके 2x + 3y = 5, x + 2y = 3 हल कीजिए। (5 marks)

• प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं (elementary row operations) द्वारा A⁻¹ ज्ञात कीजिए। (3 marks)

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Unit III: कलन (Calculus) — ~35 Marks (सबसे ज्यादा)

अवकलन (Differentiation) — ~8 marks

वस्तुनिष्ठ:

• d/dx(sin⁻¹x) = ?
• d/dx(eˣ) = ?
• d/dx(log x) = ?
• Rolle's प्रमेय की शर्तें लिखिए।

वर्णनात्मक:

• यदि y = (sin⁻¹x)² हो तो सिद्ध कीजिए: (1-x²)y₂ - xy₁ - 2 = 0 (5 marks — important type)
• Logarithmic differentiation: यदि y = xˣ हो तो dy/dx ज्ञात कीजिए। (3 marks)
• Rolle's प्रमेय सत्यापित कीजिए: f(x) = x² - 5x + 6, अंतराल [2, 3] में। (3 marks)
• Lagrange's माध्यमान प्रमेय: f(x) = x³ - 2x², अंतराल [0, 2] में c ज्ञात कीजिए। (3 marks)
• Parametric differentiation: x = a cos³θ, y = a sin³θ हो तो dy/dx ज्ञात कीजिए। (3 marks)

अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) — ~5 marks

• वक्र y = x³ - 3x + 2 पर बिंदु (1, 0) पर स्पर्श रेखा और अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए। (3 marks)
• एक वर्गाकार धातु पत्र (side 18 cm) के कोनों से समान वर्ग काटकर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। अधिकतम आयतन के लिए कटे वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए। (5 marks — classic optimization)
• सिद्ध कीजिए कि दिए गए आयतन के सभी बंद बेलनों में से न्यूनतम कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसका है जिसकी ऊँचाई = व्यास। (5 marks)

समाकलन (Integration) — ~12 marks

वस्तुनिष्ठ:

• ∫eˣ dx = ?
• ∫dx/(1+x²) = ?
• ∫sin²x dx को हल करने की विधि बताइए।

वर्णनात्मक:

• ∫dx/(x² + a²) = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C — इसे सिद्ध कीजिए या उपयोग कीजिए। (3 marks)
• खंडशः समाकलन (Integration by parts): ∫x·eˣ dx, ∫x·sin x dx, ∫log x dx (3 marks each)
• आंशिक भिन्न (Partial Fractions): ∫dx/[(x-1)(x-2)(x-3)] (3 marks)
• ∫√(a²-x²) dx = (x/2)√(a²-x²) + (a²/2)sin⁻¹(x/a) + C — सिद्ध कीजिए। (5 marks — important)
• निश्चित समाकलन के गुणधर्म: ∫₀ᵃ f(x)dx = ∫₀ᵃ f(a-x)dx — इसे सिद्ध कीजिए और उपयोग कीजिए। (5 marks — guaranteed)
• ∫₀^(π/2) log(sin x) dx = -(π/2)log 2 — सिद्ध कीजिए। (5 marks — frequently asked)

समाकलन के अनुप्रयोग (Application of Integrals) — ~5 marks

• वृत्त x² + y² = a² से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (5 marks)
• दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (5 marks — guaranteed)
• परवलय y² = 4ax और रेखा y = mx से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल। (5 marks)

अवकल समीकरण (Differential Equations) — ~5 marks

वस्तुनिष्ठ:

• अवकल समीकरण की कोटि और घात किसे कहते हैं?
• dy/dx + Py = Q (रैखिक अवकल समीकरण) का समाकलन गुणांक (IF) = ?

वर्णनात्मक:

• रैखिक अवकल समीकरण हल कीजिए: dy/dx + y/x = x² (IF विधि) (5 marks — guaranteed type)
• समघात अवकल समीकरण हल कीजिए: (x² - y²)dx + 2xy dy = 0 (y = vx प्रतिस्थापन) (5 marks)
• चर पृथक्करणीय: dy/dx = (1+y²)/(1+x²) — हल कीजिए। (3 marks)

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Unit IV: सदिश और त्रिविमीय ज्यामिति — ~17 Marks

सदिश (Vectors) — ~5 marks

वस्तुनिष्ठ:

• अदिश गुणनफल (scalar/dot product): a⃗·b⃗ = |a||b|cos θ
• सदिश गुणनफल (cross product): |a⃗ × b⃗| = |a||b|sin θ
• दो सदिशों के बीच कोण ज्ञात करने का सूत्र?

वर्णनात्मक:

• सिद्ध कीजिए: a⃗ × (b⃗ + c⃗) = a⃗ × b⃗ + a⃗ × c⃗ (3 marks)
• तीन सदिशों a⃗, b⃗, c⃗ समतलीय हैं यदि और केवल यदि [a⃗ b⃗ c⃗] = 0 — सिद्ध कीजिए। (3 marks)
• सदिशों 2î + ĵ - k̂ और 3î - 4ĵ + k̂ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (2 marks)

त्रिविमीय ज्यामिति (3D Geometry) — ~12 marks

वस्तुनिष्ठ:

• दो समतलों के बीच कोण ज्ञात करने का सूत्र?
• रेखा का कार्तीय और सदिश समीकरण लिखिए।
• बिंदु से समतल की दूरी = |ax₁+by₁+cz₁+d| / √(a²+b²+c²)

वर्णनात्मक:

• दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी (shortest distance) का सूत्र प्राप्त कीजिए और numerical हल कीजिए। (5 marks — guaranteed)
• बिंदु (2, 3, -1) से गुजरने वाले और सदिश 3î + 4ĵ - 7k̂ पर लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। (3 marks)
• तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। (5 marks)
• एक रेखा और एक समतल के बीच कोण ज्ञात कीजिए। (3 marks)
• दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (3 marks)

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Unit V: रैखिक प्रोग्रामन — ~5 Marks

वर्णनात्मक:

• कोने बिंदु विधि (Corner Point Method) से हल कीजिए:
  • Z = 3x + 5y को अधिकतम/न्यूनतम कीजिए
  • शर्तें: x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 14, x ≥ 0, y ≥ 0 (5 marks — guaranteed। Graph बनाकर सुसंगत क्षेत्र दिखाओ, कोने बिंदुओं पर Z ज्ञात करो।)

💡 LP Problem = Free 5 marks। बस graph सही बनाओ और corner points पर objective function evaluate करो।

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Unit VI: प्रायिकता (Probability) — ~10 Marks

वस्तुनिष्ठ

• P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
• बेज प्रमेय (Bayes' Theorem) का सूत्र लिखिए।
• यदि P(A|B) = P(A) हो तो A और B _____ घटनाएँ हैं। (स्वतंत्र)

वर्णनात्मक

• बेज प्रमेय (Bayes' Theorem) पर आधारित प्रश्न: (5 marks — guaranteed) "एक कारखाने में मशीन A, B, C क्रमशः 30%, 45%, 25% बल्ब बनाती हैं। इनमें खराब बल्ब का प्रतिशत क्रमशः 1%, 2%, 3% है। यदि एक बल्ब खराब निकलता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह मशीन B ने बनाया है।"
• द्विपद बंटन (Binomial Distribution): "एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। ठीक 4 बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।" (3 marks)
• P(A|B) = P(A∩B)/P(B) — सशर्त प्रायिकता पर numerical। (3 marks)

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Top 10 Guaranteed 5-Mark Questions

1. ✅ आव्यूह विधि से 3 चर के रैखिक समीकरण हल करो
2. ✅ ∫₀^(π/2) log(sin x) dx = -(π/2)log 2 सिद्ध करो
3. ✅ दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 का क्षेत्रफल
4. ✅ रैखिक अवकल समीकरण (IF method)
5. ✅ दो रेखाओं की न्यूनतम दूरी (3D)
6. ✅ रैखिक प्रोग्रामन (graph + corner point)
7. ✅ बेज प्रमेय numerical
8. ✅ तुल्यता संबंध सिद्ध करो
9. ✅ Optimization (अधिकतम/न्यूनतम area/volume)
10. ✅ निश्चित समाकलन गुणधर्म सिद्ध करो

Important Formulas

तैयारी Strategy

Step 1: Calculus पहले — 35 marks है

Integration (∫) सबसे ज्यादा marks carry करता है। रोज़ 5 integrals solve करो। By parts, partial fractions, और trigonometric substitutions — तीनों methods fluent होने चाहिए।

Step 2: Matrices/Determinants practice करो

3×3 matrix का inverse और Cramer's rule से equations solve करना — ये guaranteed 5-mark questions हैं। 10 problems solve करो।

Step 3: 3D Geometry formulas रटो

Shortest distance, angle between planes, equation of plane — ये formulas याद होने चाहिए। Formulas sheet बनाओ।

Step 4: LP Problem = Easy 5 marks

रैखिक प्रोग्रामन में graph बनाना आना चाहिए। 5 problems practice करो — pattern same रहता है।

Step 5: Previous Year Papers

100-mark paper है, इसलिए हर mark मायने रखता है। 5 papers time-bound solve करो।

Chapter wise marks weightage के लिए UP Board Class 12 Maths marks weightage देखो।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

UP Board Class 12 Maths में pass कैसे होंगे?

100 marks theory paper में 33 marks = pass। लेकिन college admission और competitive exams के लिए 60+ target रखो। Calculus (35 marks) और LP (5 marks) = 40 marks potential — इन्हें अच्छे से तैयार करो तो passing guaranteed है।

Calculus (कलन) कैसे तैयार करें?

तीन steps: (1) Differentiation formulas (chain rule, product rule, quotient rule) fluent करो, (2) Integration methods (substitution, by parts, partial fractions) daily practice करो, (3) Application problems (area, optimization, DE) के types समझो — ये word problems हैं, formula + concept दोनों चाहिए।

क्या CBSE और UP Board Class 12 Maths का syllabus same है?

हाँ, दोनों NCERT follow करते हैं। लेकिन UP Board में 100 marks pure theory है (कोई internal assessment नहीं), जबकि CBSE में 80 marks theory + 20 marks internal। UP Board paper pattern में objective section भी शामिल है।

Probability में Bayes' Theorem कितना important है?

बहुत important — 5-mark guaranteed question। Bayes' Theorem से हर साल एक word problem आती है (factory + machine type या disease + test type)। Formula याद करो और 5 different problems practice करो।

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