UP Board Class 10 द्विघात समीकरण Solve कैसे करें Hindi - Quadratic Equations

संक्षेप में: द्विघात समीकरण में students सबसे ज़्यादा confused होते हैं कि कौन सा method use करें। Simple rule: पहले गुणनखंड try करो, नहीं बने तो formula लगाओ। UP Board Class 10 Maths में इस chapter से 7-8 marks guaranteed आते हैं — factorization (गुणनखंड विधि), completing the square (पूर्ण वर्ग विधि), quadratic formula (श्रीधराचार्य सूत्र), discriminant (विविक्तकर), और word problems। इस guide में तीनों methods step-by-step Hindi में समझाए गए हैं, 10 most important solved questions, और सबसे common गलतियाँ।

Chapter Overview — Marks Distribution

ये chapter बीजगणित (Algebra) section का heart है। 2026 board exam में इस chapter से 7 marks आए — 2027 में भी 7-8 expected हैं।

द्विघात समीकरण — Basic Concepts

Standard Form (मानक रूप)

ax² + bx + c = 0

जहाँ:

• a, b, c = वास्तविक संख्याएँ (real numbers)
• a ≠ 0 (a शून्य नहीं हो सकता — वरना ये linear हो जाएगा)
• x = variable (अज्ञात राशि)

Examples — Standard Form में बदलो

Board tip: हर question में पहला step — equation को ax² + bx + c = 0 form में लिखो। फिर a, b, c identify करो।

विधि 1: गुणनखंड विधि (Factorization Method)

ये सबसे fast method है — अगर factors easily बन जाएं तो।

Step-by-Step Method

Step 1: Equation को ax² + bx + c = 0 form में लिखो

Step 2: दो ऐसी संख्याएँ ढूँढो जिनका:

• गुणनफल (product) = a × c
• योग (sum) = b

Step 3: Middle term (bx) को दो भागों में तोड़ो

Step 4: Common factor निकालो

Step 5: मूल (roots) ज्ञात करो

Solved Example 1

प्रश्न: x² + 5x + 6 = 0 को गुणनखंड विधि से हल कीजिए।

हल:

a × c = 1 × 6 = 6

दो संख्याएँ चाहिए: गुणनफल = 6, योग = 5

संख्याएँ: 2 और 3 (2×3=6, 2+3=5)

x² + 2x + 3x + 6 = 0

x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(x + 2)(x + 3) = 0

x + 2 = 0 → x = -2

x + 3 = 0 → x = -3

मूल: x = -2 और x = -3

Solved Example 2

प्रश्न: 2x² - 7x + 3 = 0

हल:

a × c = 2 × 3 = 6

दो संख्याएँ: गुणनफल = 6, योग = -7

संख्याएँ: -6 और -1 ((-6)×(-1)=6, (-6)+(-1)=-7)

2x² - 6x - x + 3 = 0

2x(x - 3) - 1(x - 3) = 0

(2x - 1)(x - 3) = 0

x = 1/2 या x = 3

मूल: x = 1/2 और x = 3

कब Use करें

गुणनखंड विधि use करो जब:

• a × c छोटी संख्या हो
• Factors easily मिल जाएं
• Board exam में "गुणनखंड विधि से हल कीजिए" लिखा हो

विधि 2: पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square Method)

Step-by-Step Method

Step 1: Equation: ax² + bx + c = 0

Step 2: दोनों sides को a से divide करो: x² + (b/a)x + c/a = 0

Step 3: c/a को RHS में ले जाओ: x² + (b/a)x = -c/a

Step 4: दोनों sides में (b/2a)² जोड़ो

Step 5: LHS को perfect square बनाओ: (x + b/2a)²

Step 6: Square root लो और solve करो

Solved Example

प्रश्न: x² + 4x - 5 = 0 को पूर्ण वर्ग विधि से हल कीजिए।

हल:

x² + 4x = 5

(4/2)² = 4 दोनों sides में जोड़ो:

x² + 4x + 4 = 5 + 4

(x + 2)² = 9

x + 2 = ±3

x + 2 = 3 → x = 1

x + 2 = -3 → x = -5

मूल: x = 1 और x = -5

कब Use करें

• जब question में specifically "पूर्ण वर्ग विधि से" लिखा हो
• Board exam में 3-4 marks का question आता है
• ये method श्रीधराचार्य सूत्र derive करने में भी use होता है

विधि 3: श्रीधराचार्य सूत्र (Quadratic Formula)

ये सबसे powerful method है — हर quadratic equation solve कर सकता है।

Formula

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

याद करने की Trick: "Negative b plus-minus root of b-square minus 4ac, all over 2a"

Step-by-Step Method

Step 1: a, b, c identify करो

Step 2: D = b² - 4ac calculate करो (Discriminant)

Step 3: Formula में values रखो

Step 4: दोनों roots calculate करो (+ और -)

Solved Example

प्रश्न: 2x² + 3x - 2 = 0 को श्रीधराचार्य सूत्र से हल कीजिए।

हल:

a = 2, b = 3, c = -2

D = b² - 4ac = (3)² - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25

√D = √25 = 5

x = (-3 ± 5) / (2 × 2)

x = (-3 + 5) / 4 = 2/4 = 1/2

x = (-3 - 5) / 4 = -8/4 = -2

मूल: x = 1/2 और x = -2

कब Use करें

• जब गुणनखंड नहीं बन रहे
• जब question में method specify नहीं है
• ये universal method है — हमेशा काम करता है
• Board exam tip: अगर doubt हो कौन सा method use करें तो formula लगाओ

विविक्तकर (Discriminant) — मूलों की प्रकृति

Formula

D = b² - 4ac

D की Value → मूलों की प्रकृति

Special Case: D = Perfect Square

Solved Examples — Discriminant

प्रश्न 1: x² - 4x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

D = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 → दो समान वास्तविक मूल

प्रश्न 2: x² + 3x + 5 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

D = (3)² - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 → कोई वास्तविक मूल नहीं

प्रश्न 3: 2x² - 5x + 1 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

D = (-5)² - 4(2)(1) = 25 - 8 = 17 → दो असमान वास्तविक मूल (अपरिमेय)

Board Exam Pattern

k ज्ञात करो Type — Solved Example

प्रश्न: k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए kx² + 6x + 1 = 0 के मूल समान हों।

हल: समान मूलों के लिए D = 0

a = k, b = 6, c = 1

D = b² - 4ac = 36 - 4k = 0

4k = 36

k = 9

Word Problems (शाब्दिक प्रश्न) — 5 Marks

Word problems board exam में 5 marks का guaranteed question है। ये chapter का सबसे important part है।

Word Problem Solve करने के Steps

Step 1: Unknown quantity को x मानो

Step 2: Problem की conditions से equation बनाओ

Step 3: Equation को ax² + bx + c = 0 form में लाओ

Step 4: किसी भी method से solve करो

Step 5: जो root problem के context में valid हो वो answer

Problem Type 1: लगातार संख्याएँ (Consecutive Numbers)

प्रश्न: दो लगातार धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना पहली संख्या = x, दूसरी = x + 1

x(x + 1) = 306

x² + x - 306 = 0

D = 1 + 1224 = 1225, √D = 35

x = (-1 + 35)/2 = 17 या x = (-1 - 35)/2 = -18

x = 17 (धनात्मक लिया)

संख्याएँ: 17 और 18

Problem Type 2: क्षेत्रफल (Area Problems)

प्रश्न: एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 मीटर अधिक है। क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है। विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना चौड़ाई = x, लंबाई = x + 5

x(x + 5) = 84

x² + 5x - 84 = 0

(x + 12)(x - 7) = 0

x = 7 (positive value) → चौड़ाई = 7 मी, लंबाई = 12 मी

Problem Type 3: चाल-दूरी-समय (Speed Problems)

प्रश्न: एक train 480 km की दूरी तय करती है। अगर चाल 8 km/h अधिक होती तो 3 घंटे कम लगते। train की चाल ज्ञात कीजिए।

हल: माना चाल = x km/h

समय = 480/x hours

नई चाल = (x + 8), नया समय = 480/(x + 8)

480/x - 480/(x + 8) = 3

480(x + 8) - 480x = 3x(x + 8)

480 × 8 = 3x² + 24x

3840 = 3x² + 24x

3x² + 24x - 3840 = 0

x² + 8x - 1280 = 0

(x + 40)(x - 32) = 0

x = 32 (positive value)

Train की चाल = 32 km/h

Problem Type 4: उम्र (Age Problems)

प्रश्न: एक व्यक्ति की वर्तमान उम्र का वर्ग उसकी 4 वर्ष बाद की उम्र के 11 गुना से 6 अधिक है। वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।

हल: माना उम्र = x

x² = 11(x + 4) + 6

x² = 11x + 44 + 6

x² - 11x - 50 = 0

D = 121 + 200 = 321... ❌ (ये clean नहीं आ रहा)

Let's recheck: x² = 11(x + 4) - 6

x² = 11x + 44 - 6 = 11x + 38

x² - 11x - 38 = 0

(x - 19/2)... formula: x = (11 ± √(121+152))/2 = (11 ± √273)/2

Actually, let me use a cleaner problem:

प्रश्न: Rohan की उम्र का वर्ग उसकी 1 वर्ष बाद की उम्र के 12 गुने से 6 अधिक है। उसकी उम्र ज्ञात कीजिए।

हल: माना उम्र = x

x² = 12(x + 1) + 6

x² = 12x + 12 + 6

x² - 12x - 18 = 0 → hmm, let's try x² = 12(x+1) - 6

x² = 12x + 6

x² - 12x - 6 = 0 → D = 144+24 = 168

Better example:

प्रश्न: दो संख्याओं का योग 15 है और उनके व्युत्क्रमों का योग 3/10 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना संख्याएँ x और (15-x)

1/x + 1/(15-x) = 3/10

(15-x+x) / x(15-x) = 3/10

15 / (15x - x²) = 3/10

150 = 3(15x - x²) = 45x - 3x²

3x² - 45x + 150 = 0

x² - 15x + 50 = 0

(x - 10)(x - 5) = 0

संख्याएँ: 5 और 10

All Word Problem Types — Summary Table

10 Most Important Solved Questions

Common गलतियाँ — ये मत करो

Method Selection — कौन सा Method कब

Frequently Asked Questions

गुणनखंड विधि और श्रीधराचार्य सूत्र में कौन सा better है?

दोनों सही हैं। गुणनखंड विधि fast है लेकिन हर equation में काम नहीं करती। श्रीधराचार्य सूत्र slow है लेकिन हर equation solve कर सकता है। Board exam strategy: पहले factorization try करो (30 seconds). अगर factors जल्दी नहीं मिल रहे तो formula लगाओ — time waste मत करो।

D (Discriminant) calculate करते समय सबसे common गलती क्या है?

सबसे common गलती: b² calculate करते समय negative sign भूलना। अगर b = -5 है तो b² = (-5)² = 25 (positive), not -25। दूसरी common गलती: -4ac में a और c दोनों negative हों तो sign confuse होना। Tip: step-by-step लिखो, shortcut मत लो।

Word problem में equation कैसे बनाएं — बहुत confusion होता है?

Word problems का secret है: (1) Unknown quantity को x मानो, (2) Problem दोबारा पढ़ो — "is", "was" = equals (=) का signal, (3) "more than" = addition, "less than" = subtraction, "product" = multiplication, (4) Equation बनाओ, (5) Standard form में लाओ। Daily 2 word problems solve करो — 10 दिन में pattern समझ आ जाएगा।

इस chapter से board exam में कितने marks आते हैं?

UP Board Class 10 Maths में द्विघात समीकरण से 7-8 marks आते हैं। Typically: गुणनखंड/सूत्र से हल (3 marks) + विविक्तकर/प्रकृति (2-3 marks) + word problem (5 marks, लेकिन choice होती है)। ये Maths paper के बीजगणित section (18-22 marks) का major part है।

पूर्ण वर्ग विधि board exam में आती है?

हाँ, कभी-कभी specifically "पूर्ण वर्ग विधि से हल कीजिए" question आता है (2-3 marks)। ये method complex लगता है लेकिन steps fixed हैं — practice करो तो easy है। अगर choice हो तो formula method prefer करो, लेकिन पूर्ण वर्ग विधि भी prepared रखो।

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