Class 10 Maths Ke Sabhi Formula — Ek Page Mein Hindi 2027 | Padhaao Blog

संक्षेप में: Class 10 गणित के सभी important formulas एक जगह — Hindi में, chapter wise। CBSE, UP Board, Bihar Board, MP Board, RBSE — सभी boards के syllabus cover। इसे print करो, wall पर लगाओ, daily 5 minute देखो — exam तक सब याद हो जाएगा। English formula list भी available है। Formula कब use करें — question type guide ज़रूर पढ़ो।

अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

Formula / नियम	विवरण
यूक्लिड विभाजन प्रमेय	a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल	HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b
अभाज्य गुणनखंड विधि	LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल (highest power)
	HCF = सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल (lowest power)
परिमेय संख्या	p/q जहाँ q ≠ 0, p और q पूर्णांक
सांत दशमलव शर्त	हर (denominator) = 2ⁿ × 5ᵐ हो तो सांत दशमलव
अपरिमेय संख्या	√2, √3, √5, π — non-terminating, non-repeating

अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)

Formula	विवरण
शून्यकों का योग (द्विघात)	α + β = -b/a
शून्यकों का गुणनफल (द्विघात)	α × β = c/a
द्विघात बहुपद	ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0
बहुपद बनाना (शून्यकों से)	x² - (α + β)x + αβ
रैखिक बहुपद	ax + b — 1 शून्यक
त्रिघात शून्यकों का योग	α + β + γ = -b/a
त्रिघात शून्यकों का गुणनफल	αβγ = -d/a

अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरणों का युग्म

स्थिति	शर्त	अर्थ
एकमात्र हल (consistent)	a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं
अनंत हल (dependent)	a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	रेखाएँ संपाती (coincident) हैं
कोई हल नहीं (inconsistent)	a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	रेखाएँ समांतर हैं

विधियाँ: प्रतिस्थापन (substitution), विलोपन (elimination), वज्र-गुणन (cross-multiplication)

वज्र-गुणन सूत्र: x/(b₁c₂-b₂c₁) = y/(c₁a₂-c₂a₁) = 1/(a₁b₂-a₂b₁)

अध्याय 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

Formula	विवरण
मानक रूप	ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0
श्रीधराचार्य सूत्र	x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
विविक्तकर (Discriminant)	D = b² - 4ac
D > 0	दो भिन्न वास्तविक मूल
D = 0	दो समान वास्तविक मूल (x = -b/2a)
D < 0	कोई वास्तविक मूल नहीं
मूलों का योग	α + β = -b/a
मूलों का गुणनफल	α × β = c/a

अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression)

Formula	विवरण
nवाँ पद	aₙ = a + (n-1)d
n पदों का योग	Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
n पदों का योग (वैकल्पिक)	Sₙ = n/2 (a + l), जहाँ l = अंतिम पद
सार्वअंतर	d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂
nवाँ पद (योग से)	aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
3 पदों का AP	a-d, a, a+d
4 पदों का AP	a-3d, a-d, a+d, a+3d

अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles)

प्रमेय / सूत्र	विवरण
BPT (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)	यदि DE ∥ BC, तो AD/DB = AE/EC
समरूपता शर्तें	AAA, AA, SSS, SAS
क्षेत्रफलों का अनुपात	समरूप △ का क्षेत्रफल अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात
पाइथागोरस प्रमेय	कर्ण² = आधार² + लंब² (H² = B² + P²)
पाइथागोरस विलोम	यदि AB² + BC² = AC² तो ∠B = 90°

अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

Formula	सूत्र
दूरी सूत्र	d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
विभाजन सूत्र (आंतरिक)	x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁+m₂), y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁+m₂)
मध्य बिंदु सूत्र	M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल	A = ½
मूल बिंदु से दूरी	d = √(x² + y²)
संरेखीय शर्त	क्षेत्रफल = 0

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अध्याय 8: त्रिकोणमिति (Trigonometry)

मूल अनुपात

अनुपात	सूत्र	याद रखने का तरीका
sin θ	लंब / कर्ण (P/H)	पनडित
cos θ	आधार / कर्ण (B/H)	बदरी
tan θ	लंब / आधार (P/B)	परसाद
cosec θ	कर्ण / लंब (H/P)	1/sin θ
sec θ	कर्ण / आधार (H/B)	1/cos θ
cot θ	आधार / लंब (B/P)	1/tan θ

याद रखो: "पनडित बदरी परसाद" — sin = P/H, cos = B/H, tan = P/B

मानक कोणों के मान

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan θ	0	1/√3	1	√3	अपरिभाषित

Trick: sin मान = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 → 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Identities)

#	सर्वसमिका
1	sin²θ + cos²θ = 1
2	1 + tan²θ = sec²θ
3	1 + cot²θ = cosec²θ

पूरक कोणों के सूत्र

सूत्र
sin(90°-θ) = cos θ	cos(90°-θ) = sin θ
tan(90°-θ) = cot θ	cot(90°-θ) = tan θ
sec(90°-θ) = cosec θ	cosec(90°-θ) = sec θ

अध्याय 9: त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग (Heights & Distances)

शब्द	अर्थ
उन्नयन कोण (Angle of Elevation)	ऊपर देखने पर — क्षैतिज से ऊपर का कोण
अवनमन कोण (Angle of Depression)	नीचे देखने पर — क्षैतिज से नीचे का कोण

Key Formulas:

ऊँचाई (Height) = दूरी × tan θ → h = d × tan θ
दूरी (Distance) = ऊँचाई / tan θ → d = h / tan θ
दो स्थितियों से: h = d × tan α × tan β / (tan α - tan β)

अध्याय 10: वृत्त (Circles)

प्रमेय / सूत्र	विवरण
स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या	स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा, त्रिज्या पर लंब होती है
बाह्य बिंदु से 2 स्पर्श रेखाएँ बराबर	PA = PB (P बाह्य बिंदु, A,B स्पर्श बिंदु)
कोण: ∠OPA = ∠OPB	दो स्पर्श रेखाओं के बीच O से बराबर कोण
वृत्त का क्षेत्रफल	πr²
वृत्त की परिधि	2πr

अध्याय 11: रचनाएँ (Constructions)

रचना	Key Points
विभाजन रचना	रेखाखंड को दिए अनुपात में विभाजित करना
समरूप त्रिभुज	दिए अनुपात (scale factor) में समरूप △ बनाना
वृत्त की स्पर्श रेखा	बाह्य बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचना

Tip: रचना में compass + ruler marks = scoring। Steps लिखना ज़रूरी — diagram अकेला = half marks।

अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)

Formula	सूत्र
वृत्त का क्षेत्रफल	πr²
परिधि	2πr
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Sector)	(θ/360°) × πr²
चाप की लंबाई (Arc)	(θ/360°) × 2πr
वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Segment)	त्रिज्यखंड क्षेत्रफल - त्रिभुज क्षेत्रफल
अर्धवृत्त क्षेत्रफल	πr²/2
अर्धवृत्त परिमाप	πr + 2r
चतुर्थांश क्षेत्रफल	πr²/4

Tip: π = 22/7 या 3.14 — question में बताया जाएगा कौन use करना है।

अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area & Volume)

3D आकृतियों के सूत्र

आकृति	पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)	वक्र पृष्ठीय (CSA)	आयतन
घन	6a²	4a²	a³
घनाभ	2(lb+bh+hl)	2h(l+b)	lbh
बेलन	2πr(r+h)	2πrh	πr²h
शंकु	πr(r+l)	πrl	⅓πr²h
गोला	4πr²	4πr²	⁴⁄₃πr³
अर्धगोला	3πr²	2πr²	⅔πr³

जहाँ: l = तिर्यक ऊँचाई (slant height) = √(r² + h²)

संयुक्त ठोस (Combined Solids)

नियम
आयतन जुड़ता है: V(total) = V₁ + V₂
TSA calculate: दोनों आकृतियों का TSA - 2 × (जुड़ने वाला area)
पिघलाकर नई आकृति: पुरानी आयतन = नई आयतन

अध्याय 14: सांख्यिकी (Statistics)

माप	सूत्र (वर्गीकृत आँकड़ों के लिए)
माध्य (Mean)	x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
माध्य (कल्पित माध्य)	x̄ = a + (Σfᵢdᵢ / Σfᵢ), जहाँ dᵢ = xᵢ - a
माध्य (पग विचलन)	x̄ = a + h(Σfᵢuᵢ / Σfᵢ), जहाँ uᵢ = (xᵢ-a)/h
माध्यिका (Median)	Me = l + [(n/2 - cf) / f] × h
बहुलक (Mode)	Mo = l + [(f₁-f₀) / (2f₁-f₀-f₂)] × h

जहाँ: l = निचली सीमा, h = वर्ग अंतराल, f = बारंबारता, cf = संचयी बारंबारता

संबंध

सूत्र
3 Median = Mode + 2 Mean
Mode = 3 Median - 2 Mean

अध्याय 15: प्रायिकता (Probability)

Formula	सूत्र
प्रायिकता	P(E) = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम
P(E) + P(Ē) = 1	घटना + पूरक घटना = 1
निश्चित घटना	P(E) = 1
असंभव घटना	P(E) = 0
सीमा	0 ≤ P(E) ≤ 1

Common प्रायिकता मान

प्रयोग	कुल परिणाम	Key Points
सिक्का (1)	2 (चित, पट)	P(चित) = 1/2
सिक्के (2)	4 (HH, HT, TH, TT)	P(दोनों चित) = 1/4
पासा (1)	6 (1,2,3,4,5,6)	P(6) = 1/6
पासे (2)	36	P(योग 7) = 6/36 = 1/6
ताश (52 पत्ते)	52	4 suits × 13 = 52
ताश — इक्का	4/52 = 1/13	4 इक्के (aces)
ताश — लाल पत्ता	26/52 = 1/2	हुकुम + पान = 26

Quick Revision Chart — Wall पर लगाओ

Chapter	सबसे Important Formula	Weightage
वास्तविक संख्याएँ	HCF × LCM = Product	6 marks
बहुपद	α + β = -b/a	4 marks
रैखिक समीकरण	a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ शर्तें	6 marks
द्विघात समीकरण	x = (-b ± √D) / 2a	6 marks
समांतर श्रेढ़ी	aₙ = a + (n-1)d, Sₙ formula	6 marks
त्रिभुज	पाइथागोरस + BPT	8 marks
निर्देशांक ज्यामिति	दूरी + विभाजन + क्षेत्रफल	6 marks
त्रिकोणमिति	sin²θ + cos²θ = 1	8 marks
ऊँचाई-दूरी	h = d × tan θ	4 marks
वृत्त	स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या	4 marks
क्षेत्रफल (वृत्त)	Sector = (θ/360)πr²	6 marks
पृष्ठीय/आयतन	TSA + CSA + Volume सूत्र	8 marks
सांख्यिकी	Mean, Median, Mode सूत्र	8 marks
प्रायिकता	P(E) = अनुकूल/कुल	4 marks

Frequently Asked Questions

Formulas याद कैसे करें?

3-step method: (1) Formula समझो — derive करने की कोशिश करो, (2) Daily 2 min chart देखो — wall पर लगा रहने दो, (3) हर formula का 1 question solve करो daily। 2 weeks में permanent memory बन जाएगी। Memory tricks पढ़ो detailed guide।

CBSE और UP Board में formulas same हैं?

90% same हैं — NCERT based syllabus common है। UP Board में कुछ extra topics हो सकते हैं (board-specific). Formulas identical — बस question pattern अलग। यह formula sheet दोनों boards cover करती है।

Exam में formula लिखना ज़रूरी है?

हाँ — formula + substitution + calculation + answer = full marks। सिर्फ answer = 1 mark (out of 3-4)। Formula लिखने से examiner को clear दिखता है कि concept आता है।

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